Su obra

LA CURVA DE AGNESI

Para definir la curva se considera la circunferencia de centro (0, a/2) y radio a/2. Sea AB = a un diámetro de dicha circunferencia, r la recta que contiene al diámetro AB, u la recta perpendicular a r que pasa por A, t la recta perpendicular a r que pasa por B, M un punto que recorre la circunferencia y s la recta que pasa por M y A. Sea N el punto de intersección de las rectas s y t. Entonces: 

La curva de Agnesi es el lugar geométrico de los puntos P que están a igual distancia de la recta u que el punto M, y a la misma distancia de la recta r que el punto N, cuando M recorre la circunferencia. Por tanto, si P tiene como coordenadas P(x, y), su abscisa x coincide con la del punto N(x, a) y su ordenada con la del punto M. Teniendo esto en cuenta es sencillo deducir que la ecuación cartesiana de la curva es:

Es una función par, creciente para x<0 y decreciente para x>0, por lo que tiene un máximo en el punto (0, a). Tiene a y=0 como asíntota horizontal. Es una curva de longitud infinita, pero cuya área bajo la curva es finita y vale a²π. 

Ecuaciones paramétricas: Si α es el ángulo MAB, entonces x = a· tg α e y = AM· cos α, luego y² = AM² · cos² α. Aplicando el teorema del cateto al triángulo rectángulo AMB se tiene que AM² = ay, por tanto y² = ay · cos² α, y si y es distinto de cero: y = a · cos² α. (Para y = 0, como cos α = 0, también se verifica la ecuación). Luego las ecuaciones paramétricas son:

y llamando t = tg α se obtiene: x = at; y = a/(1+t²).